בגרות קיץ 2025 מועד א' · שאלה 1 – גדילה ודעיכה: מכוניות חשמליות ומכוניות בנזין3 יחידות 371 · שיעור 7
📄 נוסח השאלה
במדינה מסוימת מספר המכוניות החשמליות גדל בכל שנה באחוז קבוע, ומספר מכוניות הבנזין קטן בכל שנה באחוז קבוע.
הגרפים I–II שלפניכם מתארים את מספר המכוניות החשמליות ואת מספר מכוניות הבנזין במדינה זו לפי השנה, מתחילת שנת 2016 והלאה.
א. מבין שני הגרפים I–II, איזה גרף מתאר את מספר מכוניות הבנזין במדינה זו?
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי מספר מכוניות הבנזין במדינה זו קטן ב־10% בכל שנה.
ב. מצאו מה היה מספר מכוניות הבנזין במדינה זו בתחילת שנת 2021.
בתחילת שנת 2021 היה מספר מכוניות הבנזין שווה למספר המכוניות החשמליות במדינה זו.
ג. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר המכוניות החשמליות במדינה זו בכל שנה.
ד. מצאו בתחילת איזו שנה היו במדינה זו 86,271 מכוניות חשמליות.
סעיף א – איזה גרף מתאר את מכוניות הבנזין
מספר מכוניות הבנזין קטן בכל שנה, ולכן הגרף שלו יורד. גרף II יורד (מ־200,000), וגרף I עולה.
✅ פתרון סופי: גרף II
סעיף ב – מכוניות הבנזין בתחילת 2021
בתחילת 2016 היו 200,000 מכוניות בנזין (נקודת ההתחלה של גרף II).
q = 1 − p100
📐 גורם דעיכה
נציב p = 10:
q = 1 − 10100 = 0.9
מתחילת 2016 עד תחילת 2021 עברו 5 שנים:
Mt = M0 · qt
📐 גדילה ודעיכה
📐 גורם דעיכה
דעיכה ב־p%: q = 1 − p100
📐 גדילה ודעיכה
Mt = M0 · qt
הכמות בהתחלה: M0
גורם השינוי: q
מספר השנים: t
סעיף ב – מכוניות הבנזין בתחילת 2021 · המשך
Mt = M0 · qt
📐 גדילה ודעיכה
נציב M0 = 200,000 , q = 0.9 , t = 5:
M5 = 200,000 · 0.95
M5 = 200,000 · 0.59049
M5 = 118,098
✅ פתרון סופי: 118,098 מכוניות
📐 גדילה ודעיכה
Mt = M0 · qt
הכמות בהתחלה: M0
גורם השינוי: q
מספר השנים: t
סעיף ג – אחוז הגידול של המכוניות החשמליות
בתחילת 2016 היו 53,865 מכוניות חשמליות (נקודת ההתחלה של גרף I), ובתחילת 2021 – כמו מכוניות הבנזין, 118,098.
Mt = M0 · qt
📐 גדילה ודעיכה
נציב Mt = 118,098 , M0 = 53,865 , t = 5:
53,865 · q5 = 118,098
נחלק את שני האגפים ב־53,865:
q5 = 118,09853,865
📐 גדילה ודעיכה
Mt = M0 · qt
הכמות בהתחלה: M0
גורם השינוי: q
מספר השנים: t
סעיף ג – אחוז הגידול של המכוניות החשמליות · המשך
q5 = 118,09853,865
q5 ≈ 2.1925
נוציא שורש חמישי (במחשבון):
q = 5√2.1925
q ≈ 1.17
q = 1 + p100
📐 גורם גדילה
📐 גורם גדילה
גדילה ב־p%: q = 1 + p100
סעיף ג – אחוז הגידול של המכוניות החשמליות · המשך
q = 1 + p100
📐 גורם גדילה
נציב q = 1.17:
1.17 = 1 + p100
p100 = 0.17
p = 17
✅ פתרון סופי: גדל ב־17% בכל שנה
📐 גורם גדילה
גדילה ב־p%: q = 1 + p100
סעיף ד – מתי היו 86,271 מכוניות חשמליות
נחשב את מספר המכוניות החשמליות בתחילת כל שנה, עד שנגיע ל־86,271:
Mt = M0 · qt
📐 גדילה ודעיכה
נציב M0 = 53,865 , q = 1.17:
Mt = 53,865 · 1.17t
| תחילת שנה | t | מספר המכוניות החשמליות |
|---|---|---|
| 2016 | 0 | 53,865 |
| 2017 | 1 | 53,865 · 1.17 ≈ 63,022 |
| 2018 | 2 | 53,865 · 1.172 ≈ 73,736 |
| 2019 | 3 | 53,865 · 1.173 ≈ 86,271 |
אחרי t = 3 שנים מתחילת 2016:
📐 גדילה ודעיכה
Mt = M0 · qt
הכמות בהתחלה: M0
גורם השינוי: q
מספר השנים: t
סעיף ד – מתי היו 86,271 מכוניות חשמליות · המשך
אחרי t = 3 שנים מתחילת 2016:
2016 + 3 = 2019
✅ פתרון סופי: בתחילת שנת 2019
📌 סיכום התשובות
א
גרף II
ב
118,098 מכוניות
ג
17%
ד
בתחילת 2019
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא